Question

函数奇偶性问题

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数，偶函数，当x小于0时，f'（x）·g（x）+f（x）·g'（x）大于0，且g（-2）=0，则不等式f（x）·g（x）大于0的解集是？

Answer 1

令F(x)=f（x）·g（x）求导：=f'（x）·g（x）+f（x）·g'（x）

当x<0 时候，F(x)导数>0
所以F(x)在x<0 时候是递增函数

当g（-2）=0
也即F(-2)=0

所以当0<x<-2时候，F(x)>0

F(-x)=f（-x）·g（-x）=-f（x）·g（x）=-F(x)
F(x)是奇函数
所以由奇函数的性质，可以知道，当x>2 时候F(x)>0

f（x）·g（x）大于0的解集是-2<x<0 和x>2

Answer 2

f'（x）·g（x）+f（x）·g'（x）=[f（x）·g（x）]'
x小于0,f（x）·g（x）递增，有
f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数，偶函数，f（x）·g（x）是奇函数。
对称，x》0,f（x）·g（x）递增 g（-2）=0
(-2,0)∪(2,∞)