一道数学高考题 关于数列 帮帮忙!
能够给我详细的解释!感激不尽!在数列{An}中,a(1)=1,a(n+1)=2a(n)+2^n(1)设b(n)=a(n)/2^n-1,证明数列{b(n)}是等差数列(2)...
能够给我详细的解释!感激不尽!
在数列{An}中,a(1)=1 ,a(n+1)=2a(n)+2^n
(1)设b(n)=a(n)/2^n-1,证明数列{b(n)}是等差数列
(2)求数列{a(n)}的前n项和S 展开
在数列{An}中,a(1)=1 ,a(n+1)=2a(n)+2^n
(1)设b(n)=a(n)/2^n-1,证明数列{b(n)}是等差数列
(2)求数列{a(n)}的前n项和S 展开
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(1) a(n+1)=2a(n)+2^n
移项,两边同除以2^n
a(n+1)/2^n-a(n)/2^(n-1)=1
b(n)=a(n)/2^(n-1)
∴{b(n)}={a(n)/2^(n-1)}是一个等差数列,公差为1,首项为a1/2^0=1
(2)由(1)知,{a(n)/2^(n-1)}是一个公差为1,首项为1的等差数列
∴a(n)/2^(n-1)=1+n-1=n
∴an=n*2^(n-1)
∴Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3+…+n*2^(n-1)........(1)
2Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+4*2^4+…+n*2^n......(2)
(1)-(2)
-Sn=1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)-n*2^n......(3)
将1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)用等比数列求和公式,得
1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)=2^n-1
代入(3),得
∴Sn=n*2^n-2^n+1
∴Sn=(n-1)*2^n+1
移项,两边同除以2^n
a(n+1)/2^n-a(n)/2^(n-1)=1
b(n)=a(n)/2^(n-1)
∴{b(n)}={a(n)/2^(n-1)}是一个等差数列,公差为1,首项为a1/2^0=1
(2)由(1)知,{a(n)/2^(n-1)}是一个公差为1,首项为1的等差数列
∴a(n)/2^(n-1)=1+n-1=n
∴an=n*2^(n-1)
∴Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3+…+n*2^(n-1)........(1)
2Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+4*2^4+…+n*2^n......(2)
(1)-(2)
-Sn=1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)-n*2^n......(3)
将1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)用等比数列求和公式,得
1+2+2^2+2^3+2^4+…+2^(n-1)=2^n-1
代入(3),得
∴Sn=n*2^n-2^n+1
∴Sn=(n-1)*2^n+1
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