Question

高三数学题，高手帮忙啊！！救命啊！后天要交啦！

1.在△ABC中，AB=1,BC=根号7，∠BAC=120°。在△ABC内任取一点P，则△PAB的面积不小于根号3/4的概率为？
2.已知直线xcosa+ysina=1与圆C:x^2+y^2=4交于A,B两点，若圆C在A,B两点的切线的交点为P，则点P的轨迹方程为？
3.已知实数x,y满足x-根号（x+1）=根号（y+3)-y,则x+y的最大值为？
4.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且长分别为a,b,c，又（a^2+b^2）c=根号6，侧面PAB与底面ABC成的角为60°，当三棱锥的体积最大时，a的值为？
5.已知函数f(x)=log2(a-2^x)+x-2，若f(x)=0有解，则实数a的取值范围是？
6.已知∣x∣≤π/2，∣y∣≤π/2，其中满足：“x≥0，y≥0，且y≤cosx”的概率为？
7.过点P（2，1）作直线l分别交x轴y轴的正半轴于A、B两点，则∣PA∣*∣PB∣的值最小时直线l的方程是？
8.已知p是△ABC内任一点，且满足向量AP=x向量AB+y向量，x,y∈R，则y+2x的取值范围是？
9.当θ取遍所有值时，直线xcosθ+ysinθ=4+根号2sin(θ+π/4）所围成的图形面积为？

Answer 1

1.设AC=a，那么由余弦定理可得：7=1+a平方-2*1*a*cos120°，解得a=2，若是△PAB的面积不小于根号3/4的话，那么只要AB上的高不小于根号3/2就行了。而△ABC中，AB上的高是：ACsin(180°-120°)=根号3，正好是做需要的最小的高的2倍，所以P只要落在中位线上方的区域内即可，中位线上方的三角形占全部三角型面积的(1/2)平方=1/4，所以概率也是1/4。
2.设P(x1,y1)，PA、PB是关于圆的两条切线，那么AB就是切点弦，有切点弦方程AB：x1*x + y1*y = 2平方=4，将4除下来可得x1=cosa/4，y1=sina/4，所以P的轨迹方程是：x平方+y平方=1/16。
3.设根号（x+1）=t，那么x=t平方-1，再设根号（y+3)=s，那么y=s平方-3。
这样就有：t平方-1-t=s-s平方+3。所以有（t平方+s平方）-（t+s)=4。
又由于有基本不等式t+s小于等于根号2*根号（t平方+s平方）所以原式化为：（t平方+s平方）-根号2*根号（t平方+s平方）≤4解一个二次不等式可得
t平方+s平方≤2根号2（负的那一段舍去）
所以x+y=s平方+t平方-4。≤2根号2-4，这就是最大值。
4.由于三条棱两两垂直，所以VP-ABC=1/3*(ab/2)*c=abc/6
有基本不等式：ab≤(a平方+b平方)/2所以V≤1/12*(a平方+b平方)*c=根号6/12。这时有当a=b=c=六次根号6，即是正三棱锥的时候，侧面与底面的夹角是60°满足条件。
5.f(x)=0的话，log2(a-2^x)=2-x，有a-2^x=2^2-x。
所以a=2^x+4/(2^x)。由于2^x>0，所以可以用基本不等式得到a≥2根号[2^x*4/(2^x)]。得到a≥4。
6.即求y=cosx在第一象限与x、y轴围成的面积，是1（要用到微积分知识，所以记住就可以了，不用深究）那么概率就是1/π^2。
7.设方程是y-1=k(x-2)，那么与y轴的交点是1-2k，与x轴的交点是2-1/k。
∣PA∣*∣PB∣=（1-2k）（2-1/k）=4-（4k+1/k）
因为都交于正半轴上所以k<0，有∣PA∣*∣PB∣=4+[-4k+1/(-k)]，由于-k是正数，所以能用基本不等式可得∣PA∣*∣PB∣≥4+4=8，此时k平方=1/4，所以k=-1/2。原来直线的方程是：x+2y-4=0。
8.先取AB中点D，这样就有：向量AP=2x向量AD+y向量AC，这样，2x+y就构造出来了。
9.先展开，可得xcosθ+ysinθ=4+sinθ+cosθ。
由点到直线距离可得这条直线到原点的距离为：
∣4+sinθ+cosθ∣/根号（cosθ平方+sinθ平方）=4+sinθ+cosθ。
这个距离的取值范围是[4-根号2，4+根号2]，这样可知，围成的图形是一个圆环。大圆半径4+根号2，小圆半径4-根号2。
所以S=π(4+根号2)平方-π（4-根号2）平方=16根号2 *π。