Question

椭圆问题！！！！急~~~在线等！！！

F1，F2分别是椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左右焦点,过F1斜率为1的直线l与E相交与点A,B两点,｜AF2｜,｜AB｜,｜BF2｜成等差数列:
1)求椭圆的离心率
2)设点P(0,-1)满足｜PA｜=｜PB｜,求椭圆的方程

Answer 1

过F1斜率为1的直线l与E相交与点A,B两点,｜AF2｜,｜AB｜,｜BF2｜成等差数列，
则2｜AB｜=｜AF2｜+｜BF2｜
又｜AB｜=｜AF1｜+｜BF1｜，｜AF1｜+｜AF2｜+｜BF1｜+｜BF2｜=4a

得｜AB｜=4/3 a

又｜AF1｜=a+ex1,|BF1|=a+ex2,

所以4/3 a=2a+e（x1+x2），得x1+x2=-2a/3e....1

过F1的直线方程：y=x+c，代入椭圆方程得

x^2/a^2+(x+c)^2/(a^2-c^2)=1

化简，（a^2-c^2+a^2)x^2+2a^2cx+a^2c^2-a^2(a^2-c^2)=0
得x1+x2=2a^2 c/(c^2-2a^2).......2

1式2式联立，得2a^2 c/(c^2-2a^2)=-2a/3e

e=c/a，所以2e/（e^2-2)=-2/3e,

e^2=4/5,

所以e=2√5/5

因为P（0，-1），所以在直线AB的垂直平分线上
所以可求出AB的中点坐标，由第一问可以直接的出a和c的值
进而求出b的值，所以椭圆的方程即可求解。
PS:第一问借用了楼上的，我比较懒，希望见谅。第二问直讲解了方法没写过程，希望见谅

Answer 2

过F1斜率为1的直线l与E相交与点A,B两点,｜AF2｜,｜AB｜,｜BF2｜成等差数列，
则2｜AB｜=｜AF2｜+｜BF2｜
又｜AB｜=｜AF1｜+｜BF1｜，｜AF1｜+｜AF2｜+｜BF1｜+｜BF2｜=4a

得｜AB｜=4/3 a

又｜AF1｜=a+ex1,|BF1|=a+ex2,

所以4/3 a=2a+e（x1+x2），得x1+x2=-2a/3e....1

过F1的直线方程：y=x+c，代入椭圆方程得

x^2/a^2+(x+c)^2/(a^2-c^2)=1

化简，（a^2-c^2+a^2)x^2+2a^2cx+a^2c^2-a^2(a^2-c^2)=0
得x1+x2=2a^2 c/(c^2-2a^2).......2

1式2式联立，得2a^2 c/(c^2-2a^2)=-2a/3e

e=c/a，所以2e/（e^2-2)=-2/3e,

e^2=4/5,

所以e=2√5/5