Question

求解一道高中数学题~要详尽过程哈谢谢~

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的图像上任意一点都不在直线y=x的下方，设g(x)=x^2+x+3,F(x)=f(x)+g(x),若F(0)=5,且F（x）的最小值为2，求f(x)的解析式。
麻烦过程~

Answer 1

因为f(x)的任何点都不在曲线y＝x下方，因此它必定是开口向上的，
＝》a>0
又因为f（x）和y＝x最多只有一个交点
＝》x＝ax^2+bx+c最多只有一个解
＝》（b-1)^2-4ac<=0 (A)

F(x)=f(x)+g(x)
=(a+1)x^2+(b+2)x+(c+3)

F(0)=c+3=5
=>c=2
=>F(x)=(a+1)x^2+(b+1)x+5
=(a+1)(x-(b+1)/2(a+1))^2+5-(b+1)^2/4(a+1)
把c＝2代入（A）
＝》（b-1)^2-8a<=0
＝》（b-1)^2<=8a (B)

F(x)的最小值为2，
＝》5-(b+1)^2/4(a+1)=2
=>(b+1)^2=12(a+1)
=>(b-1)^2+4(b-1)=12a+8
=>8a+4(b-1)>=12a+8
=>b-1>=a+2
=>(b-1)^2>=(a+2)^2
=>(a+2)^2<=(b-1)^2<=8a （C）

(a+2)^2-8a=(a-2)^2>=0,当且仅当a＝2时等号成立 （D）

接合（C）和（D）和（B）
＝》a＝2，b＝5 （b＝－7不满足（B））

＝》f（x）＝2x^2＋5x＋2