Question

4道数学竞赛题。。求详细解答

1、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

2、如图，直角三角形ABC中,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA则线段,EF长的最小值为 .

3、在平面直角坐标系中有两点P(−1,1),Q(2,2) ，函数 y=kx−1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 .

4、方程xyz=2009 的所有整数解有 组。

有急用。。求解题思路。。谢谢
标准答案：
1)50或94
2)2√5/5
3)1/3＜K＜3/2
4)72
三四题，大家帮帮忙，再麻烦想一想

Answer 1

糊涂了。。
1、可分正三角形说明了这个平行四边形的四个角分别为60°，120°，60°，120°。 以92个正三角形成一排拼成平行四边形为例，这是平行四边形的周长=46+1+46+1=94。 排成两排则为23+23+2+2=50。
用n表示就是92/n+2n(n为正整数）
2、EF是Rt△PEF的斜边， EF=PC,所以求出PC最小值就可以了。
P为AB上动点，两点之间线段最短，则PC垂直AB时，PC最短=(AC×BC)/AB=五分之二倍根号五
3、假设直线y=kx-1可以过Q（2,2）解得k=1.5，所以当交点不包括Q点时，实数k的取值是小于1.5的。（你可以画图看看）1/3是因为平行，平行的话两条函数的图像是没有交点的，当两条直线平行时，他们的k都是相等的，也就是求出过PQ点的一次函数的k就行了。 答案：1/3＜k＜1.5
4、这个2009可以看做是（整数）1×1×2009、1×7×287、7×7×41 1×49×41。
（大概只有这四种吧？） 其中又有三个未知数一正两负和三正两种情况 先说xyz在三正的情况下，有三个可能的解集，分别为1×1×2009 1×2009×1 2009×1×1，在三未知数一正两负的情况下原本的 x y z 就会出现3种可能；x -y -z -x -y z -x y -z。1×1×2009=1×（-1）×（-2009）=（-1）×（-1）×2009=（-1）×1×（-2009）所以在一正两负的情况下原本的三个可能的解集就会衍生出9个可能的解集。
那么得出结论，1×1×2009这样的分组共有12个可能的解集
在7×7×41时，也有类似的12个可能的解集。
但当1×7×287时，因为三个数值均不同，所以和上面两组不同，在三正的情况下有6个可能的解集，两正一负的情况下又有18个可能的解集。（不写了吧？）
同理1×49×41也有24个可能的解集。
综上所述，xyz=2009共有72组整数解。

Answer 2

第三题，我是这么想的：
函数 y=kx−1 有一点是固定的设为O点（0，-1）那么经过这个点分别与P、Q做两条直线，如果是延长线有交点，画图即可明白意思。
OP直线斜率为-1/2，OQ直线斜率为3/2，不包括Q点，所以是[-1,1/2]和[0,3/2）

Answer 3

1平行四边形则对边相等，若92个边长为1的正三角形排一排则边长为46和1周长为94，并且排的排数一定要将46整除，固周长可能是94,和50，

Answer 4

1 正三角形排一排为94，排二排位23+23+2+2=50所以四边形的周长可能为92/N+2N，N为正整数

Answer 5

1.面积相等 92*1/2*1*1*sin60=2*1/2*x*y*sinθ
因为x y都是整数 所以θ=120或60 xy=46=2*23=1*46
所以周长=2（x+y）=2(2+23)=50 或 =2（1+46）=94
2.因为 EF=CP 相当于C点到斜边AB的最小距离 就是CP⊥AB
所以EF最小值AC*BC/AB=2/√5
3.PQ所在直线斜率为（2-1）/（2-(-1)）=1/3
y=kx-1经过点A（0，-1） AQ所在直线斜率为（2-(-1)）/（2-0）=3/2
根据相交于延长线上
所以1/3<k<3/2
4.2009=7*7*41
所以有1、1、2009； （3种）
-1、-1、2009；（3种）
-1、1、-2009；（6种）
1、7、287； （6种）
-1、-7、287； （6种）
-1、7、-287； （6种）
1、-7、-287；（6种）
1、49、41； （6种）
-1、-49、41； （6种）
-1、49、-41； （6种）
1、-49、-41；（6种）
7、7、41； （3种）
-7、-7、41； （3种）
-7、7、-41； （6种）
所以共有72组解

Answer 6

第三题
先把直线pq的解析式求出来是y＝1/3x＋4/3
因为要与延长线相交所以x的取值范围是x小于等于－1或x大于2
1/3x+4/3＝kx−1
得7/3＝x（k-1/3）
那么分类讨论x大于2，k-1/3大于0
x＝7/3除以（k-1/3）则7/3除以（k-1/3）大于2
解得1/3＜K＜3/2
x小于等于－1，k-1/3小于0
同上方法
解得k大于等于－2小于1/3
但我不知道为什么下一个不成立