有一题数学题不会 请大家帮忙~
若函数f(x)=a|x-b|+2在x∈[0,+∞)上为增函数,则实数a,b的取值范围是——.写出解释...
若函数f(x)=a|x-b|+2在x∈[0,+∞)上为增函数,则实数a,b的取值范围是——.
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对于本题而言,+2不影响原函数的单调性。因为|x-b|≥0恒成立,因而若使原函数为增函数,则:
当a>0时,需使|x-b|为增函数,而x∈[0,+∝),则b≤0;
当a<0时,需使|x-b|为减函数,而x∈[0,+∝),则|x-b|不可能为减函数;
当a=0时,f(x)=2,舍去
综上所述,当a>0,b≤0时成立。
注:“当a<0时:当x-b<=0时f(x)为增函数”错误,因为此处函数单调性与符号无关,而需使x-b≤0且为减函数才能使f(x)为增函数。
另:利用求导的方式求:
当x≥b时,f(x)=ax-ab+2,f'(x)=a,即当b小于等于x的最小值(b≤0)且a>0时f(x)为增函数;
当x<b时,f(x)=ab-ax+2,f'(x)=-a,即当b大于x的最大值(因x∈[0,+∝)所以不存在)且a<0时为增函数;
综上所述,当a>0,b≤0时成立。
当a>0时,需使|x-b|为增函数,而x∈[0,+∝),则b≤0;
当a<0时,需使|x-b|为减函数,而x∈[0,+∝),则|x-b|不可能为减函数;
当a=0时,f(x)=2,舍去
综上所述,当a>0,b≤0时成立。
注:“当a<0时:当x-b<=0时f(x)为增函数”错误,因为此处函数单调性与符号无关,而需使x-b≤0且为减函数才能使f(x)为增函数。
另:利用求导的方式求:
当x≥b时,f(x)=ax-ab+2,f'(x)=a,即当b小于等于x的最小值(b≤0)且a>0时f(x)为增函数;
当x<b时,f(x)=ab-ax+2,f'(x)=-a,即当b大于x的最大值(因x∈[0,+∝)所以不存在)且a<0时为增函数;
综上所述,当a>0,b≤0时成立。
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a>0,b<=0,画出图像,顶点在(b,2)的一个V字型(或者倒V字型,由a的符号决定)
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a必需>0,因为当小于或等于时,不能使此函数为增函数, b≤0,因为x∈[0,+∞)所以此题绝对值内的数必需都为正,才能函数f(x)=a|x-b|+2在x∈[0,+∞)上为单调函数,所以b≤0.
希望对你有帮助。
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x>>+∞,x-b>>+∞。因为单调,因此x-b>0;
递增函数,a>0
递增函数,a>0
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