Question

数学归纳法的问题

数列(An)满足a1=1/2，an+1(n+1是下标）=an/(2an+3) n属于n*

(1) 求 a1 a2 a3 a4
(2) 猜想数列的通项公式an，并用数学归纳法证明你的猜想

在家自学，高手教教

Answer 1

(1) a1=1/2 =1/[3*3^(1-1)-1]
a2= a1/(2a1+3)=1/8 =1/[3*3^(2-1)-1]
a3= a2/(2a2+3)=1/26 =1/[3*3^(3-1)-1]
a4= a3/(2a3+3)=1/80 =1/[3*3^(4-1)-1]
.........................................
(2) 猜想 an=1/[3*3^(n-1)-1]
证明： 因为 an+1=an/(2an+3)
所以 1/an+1=(2an+3) /an=2+3/an
1/a(n+1)+1=3(1/an+1)
[1/a(n+1)+1]/(1/an+1)=3
所以 (1/an+1)是一个公比为3的等比数列，首项为1/a1+1=3
即 1/an+1=3*3^（n-1)
1/an =3*3^（n-1)-1
an =1/[3*3^（n-1)-1]

Answer 2

1/2 1/8 1/26 1/80 1/242
猜想AN=1/(3^n-1)
n=1时成立
设N=K时成立 则ak=1/(3^k-1)
则n=k+1时 ak+1=1/(3^k-1)/(2(1/(3^k-1))+3)=1/(3^k+1-1) 满足an=1/(3^n-1) 即可从n递推到n+1
于是从n=1开始可递推到所有n属于N*均成立
得证