Question

已知函数f(x)=mx²+(m-3)x+1与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围

Answer 1

0≤m≤1 是错误的

要说明其错误，举一个反例即可。
当m=-1时，原方程有一个正根和一个负根，满足题意要求。所以0≤m≤1至少是不全面，当然也就不正确了。

①、若m=0 f(x)=-3x+1 与x轴交点在原点右侧
②、若m≠0 当△=0 即m²-10m+9=0 m=1或9
m=1时 方程为y=（x-1)² 与x轴交点在原点右侧
m=9时 方程为y=（3x+1)² 与x轴交点不在原点右侧
③、当△＞0 即m＜1 或m＞9 方程与x轴有两个交点
此时需要利于求根公式把x1和x2求出，然后分析当m<0, 0<m＜1 和 m＞9 条件下x1和x2的大小，找出最大的根，然后令其＞0 ，解出m的范围
再与求解时的条件综合一下，最终得出m的取值范围为
m<=1

Answer 2

①、若m=0 即原方程不是二元一次方程 f(x)=-3x+1 与x轴焦点就是（1/3,0)在原点右侧，符合题意
②、若m≠0 即原方程是个二元一次方程
当△=0 即m²-10m+9=0 m=1或9
m=1时 原方程等于（x-1)²=y 交点是 （1,0）符合题意
m=9时 原方程等于（3x+1)²=y 交点是（-1/3,0)不符合题意
③、当△＞0 即m＜1 或m＞9 方程与x轴有两个交点
要使其与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，即有一个正根
则两根之和大于0 两根之积大于0
（3-m)/m ＞0 1/m＞0 解得 0＜m＜3 m＞0
再与m＜1 或m＞9 取交集 得 0＜m＜1

综上所述 m的取值范围是 0≤m≤1