Question

初二奥数、高手进！

若关于x的方程2k/(x-1)-x/(x²-x)=(kx+1)/x只有一个解，求k的值。
该题有两个答案，K可取0或1/2

Answer 1

首先，根据分母中有（x²-x）确定x不能取0和1，
然后化简,
2k/(x-1)-1/(x-1)=(kx+1)/x,..........（1）
(2k-1)/(x-1)=(kx+1)/x,..............（2）
(2k-1)x=(kx+1)(x-1),................（3）
kx²+(2-3k)x-1=0,....................（4）
然后根据(2-3k)²=-4k，发现k没有实数解（实际上有复数解，但是初中数学肯定不涉及啦）。
那么回头来看以上的化简过程，我们是在假设x不能取0和1的前提下，得出k无论取何值都不能使方程只有一个解。那么（根据逆否命题原理）要想使方程只有一个解，需要（3）方程的一个跟为x=0或x=1，将x=0代入（3）无解，将x=1代入（3），得k=1/2
所以，k=1/2

可能表达上不好理解，有疑问可以补充。

补充：
抱歉啊，我不够严谨。对于（4）式，应该先讨论k=0的情况，这时不是2次方程，当然只有一个解。

Answer 2

k=1/2或k=0

Answer 3

注意分母不为零，化简后讨论二次项系数为零的情况就搞定了。

Answer 4

k应该等于1/2，可以将K代入试试。k等于0时，有多个解。只能等于1/2时有一个解