Question

设函数f（x）=xe^kx(k不等于0)

(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3)若函数f（x）在区间（-1,1）内单调递增，求k的取值范围
要详细过程，谢谢各位有才人士
我知道第三问的答案是[-1,0)U(0,1]，望各位给出第三问的正确解题过程，谢谢哦

Answer 1

先求出f（x）的导数表达式为f'（x）=（1+xk）e^kx。
1.x=0时，导数=1，故该处切线方程为y=x。
2.单调区间即f'（x）>=0为单调增，f'（x）<=0为单调减，也就是（1+xk）>=0为单调增，（1+xk）<=0为单调减,对k分大于0和小于0分两种情况讨论即可。
k>0：x>=-1/k时f（x）单增，x<=-1/k时f（x）单减
k<0：x<=-1/k时f（x）单增，x>=-1/k时f（x）单减
3.即的单增区间需要包含（-1,1）。由第二问的结论得到
k>0：(-1/k)<=-1,k>=1
k<0：(-1/k)>=1,0>k>=-1.
所以k的取值范围为[-1.0)和[1,无穷大).

Answer 2

f'（x）=e^（kx）+kxe^（kx）=（1+kx）e^（kx）．
（1）f（0）=0，f'（0）=1，所求切线方程为：y=x．
（2）若k＜0，则x＜-1/k，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞-1/k，f'（x）＜0，f（x）递减．
此时，f（x）的单调递增区间是（-无穷，-1/k），单调递减区间是（-1/k，+无穷）．
若k＞0，则x＜-1/k，f'（x）＜0，f（x）递减；x＞-1/k，f'（x）＞0，f（x）递增．
此时，f（x）的单调递减区间是（-无穷，-1/k），单调递增区间是（-1/k，+无穷）．
（3）若k＜0，f（x）的增区间是（-无穷，-1/k），所以-1/k＞=1，则-1＜=k＜0．
若k＞0，f（x）的增区间是（-1/k，无穷），所以-1/k＜=-1，则0＜k＜=1．
所以，k的取值范围是[-1，0）U（0，1]．