Question

一到函数题

设f(x)=4^x/(4^x+a),且f(x）的图像过点（0.5，0.5），
（1）求f(x)的表达式；
（2）计算f（x）+f（1-x）
（3）求f(1/2007)+f(2/2007)+f(3/2007)+...+f(2005/2007)+f(2006/2007)的值

Answer 1

（1）带入点（0.5，0.5），所以0.5=2/(2+a) 所以a=2， f(x)=4^x/(4^x+2),
（2）f（1-x）=4^（1-x）/(4^（1-x）+2)=2/(4^x+2)
f（x）+f（1-x）=4^x/(4^x+2)+2/(4^x+2)=1
（3）设原式=A
2A=f(1/2007)+f(2/2007)+f(3/2007)+...+f(2005/2007)+f(2006/2007)
+f(2006/2007)+f(2005/2007)+.......+f(2/2007）+f(1/2007)
根据（2）中结论f（x）+f（1-x）=1
所以2A=2006 所以A=1003

Answer 2

(1)解：将（0.5,0.5）带入函数得
0.5=4^0.5/(4^0.5+a) 得a=2
所以：f(x)=4^x/(4^x+2)
(2)f(x)+f(1-x)=4^x/(4^x+2)+4^(1-x)/[4^(1-x)+2)]=1
(3)原式=[f(1/2007)+f(2006/2007)]+[f(2/2007)+f(2005/2007)]+...[f(1003/2007)+f(1004/2007)]
=1*1003=1003

Answer 3

把（0.5，0.5）带入得a=2 f（x）=4^x/(4^x+2）
f（x）=4^x/(4^x+2）f（-x）=4^（-x）/（4^(-x）+2） f（x）+f（-x）=0
f（x）+f（1-x）=f（1）=4/4+2=3/2
f(1/2007)+f(2006/2007)=f（1） f(1/2007)+f(2/2007)+f(3/2007)+...+f(2005/2007)+f(2006/2007)=1003f（1）+f（1/2）=1505