Question

设f(x)=a^x/1+a^x(a>0,a不等于1)[m]表示不超过实数m的最大整数,求y=[f(x)-1/2]+[f(-x)-1/2]的值域

Answer 1

解：f(x)=a^x/(1+a^x).(a＞0且a≠1).由此可知，该函数的定义域为R,对任意x∈R,恒有f(x)+f(-x)=1,且0＜f(x)＜1,0＜f(-x)＜1.且仅当x=0时，有f(x)=f(-x)=1/2.当x≠0时，f(x)与f(-x)二者必有一个在区间(0,1/2)内，一个在区间(1/2,1)内，（1）当x=0时，f(x)=f(-x)=1/2.===>f(x)-(1/2)=f(-x)-(1/2)=0.===>[f(x)-(1/2)]=[f(-x)-(1/2)]=0.===>y=0,(2)当x≠0时，不妨设0＜f(-x)＜1/2＜f(x)＜1.===>-1/2＜f(-x)-(1/2)＜0＜f(x)-(1/2)＜1/2.===>[f(-x)-(1/2)]=-1,[f(x)-(1/2)]=0.===>y=-1.综上可知，所求的值域为{-1,0}，即值域是仅含-1和0的数集{-1,0}.

Answer 2

设所求函数为F(x),则F(x)=F(-x),故只需要考虑x>0的情况。又因为f(x)=f (1/x),故只需要考虑x>=1的情况。

对f(x)求导可得f'(x)=(-1/x^2+a^(x-1/x))a^(1/x)lna;

当a>1时可得：x>1时，f'(x)>0;(因为-1<-1/x^2<0;a^(x-1/x)>1;lna>0;a^(1/x)恒大于0),同理a<1时，x>1时f'(x)<0;

然后同理可得x<-1时，f'(x)<0;（对于任何a)

然后对x>1;F(x)就是单调非减函数(因为F(x)前半部分是增，后半部分，x<-1时是单减，f(-x)就是单增，两个一加，还是单增)

故取x=1是函数取最小值,为F(1)=[2a-1/2]+[1/2a-1/2],
所以值域为[[2a-1/2]+[1/2a-1/2],正无穷]