Question

如图,等腰三角形ABC的顶角角A等于36°,圆O和底边BC相切于BC

如图，等腰三角形ABC的顶角角A=36度，圆O和底边相切于中点D，并过两腰的中点G，F，又和两腰相交于点H，E。求证：五边形DEFGH是正五边形。

Answer 1

连结DF、DG
易证四边形AFDG是菱形
∴∠BGD＝∠FDG＝∠CFD＝∠A＝36°
∵BC是切线
∴∠CDE＝∠CFD＝36°
而∠FDC＝∠B＝72°
∴∠EDF＝36°
同理：∠GDH＝36°
∴∠BGD＝∠CFD＝∠EFD＝∠FDG＝∠GDH＝36°
∴弧HD＝弧DE＝弧EF＝弧FG＝弧GH
即D、E、F、G、H将⊙O五等分
∴五边形DEFGH是正五边形

Answer 2

证明：连接DF、DG∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵G、F分别为AB、AC中点∴GF∥BC且GF=BD=CD∵GF∥BC∴∠AGF=∠ABC=∠AFG=72°∵AG=BG，∠AGF=∠ABC，GF=BD∴△AGF≌△GBD∴BG=AG=AF=DG，同理可证AF=CF=DF=GD∴∠BGD=∠A=36°根据弦切角定理，∠BDH=∠BGD=36°，∴∠BHD=180°-∠ABC-∠BDH=180°-72°-36°=72°∴BD=HD同理可证，DE=DC∵DG=DF∴∠DGF=∠DFG=72°∴∠GDF=36°∵GF∥=BC∴四边形GFCD为平行四边形∴∠GDC=∠GFC=108°∴∠EDF=∠GDC-∠GDF-∠CDE=108°-36°-36°=36°=∠DFE∴DE=EF∴DE=EF=GF=GH=HD=BD=DC且∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=∠HDE=108°∴五边形EFGHD为正五边形。