Question

证明a^n-b^n=(a-b)(a^n-1 + a^n-2 b +....+a b^n-2 + b^n-1)

a^n-b^n=(a-b)(a^n-1 + a^n-2 b +....+a b^n-2 + b^n-1)

证明

Answer 1

不太好说明。

学过多项式除法的话可以直接求出(a^n-b^n)/(a-b)=a^(n-1)+ a^(n-2)*b +....+a*b^(n-2) + b^(n-1)。

也可以直接拆开右边。有
右边= a*[a^(n-1)+ a^(n-2)*b +....+a*b^(n-2) + b^(n-1)]
- b*[a^(n-1)+ a^(n-2)*b +....+a*b^(n-2) + b^(n-1)]
= a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 +....+ a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1)
-[b^n + b^(n-1)*a + b^(n-2)*a^2 +....+ b^2*b^(a-2) + b*a^(n-1)]
= a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 +....+ a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1)
-[b^n + b*a^(n-1) + b^2*b^(a-2) +....+ b^(n-2)*a^2 + b^(n-1)*a] (颠倒第二行的顺序，发现可以上下对应消去)
= a^n - b^n=左边。证毕。

Answer 2

=a^n+a^n-1b+.....ab^n-1-(a^n-1b+a^n-2b+....b^n)
=a^n-b^n