Question

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于AB两点,若/FA/=2/FB/,离心率为2/3，如果/AB/=15/4,求椭圆方

Answer 1

解：由题意，可设椭圆的方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1.(a＞b＞0).且左焦点F(-c,0),左准线为x=-a²/c.(一)由题设，|AB|=|FA|+|FB|=15/4,且|FA|=2|FB|.===>|FA|=5/2,|FB|=4/5.数形结合可知，点A在x轴的上部，点B在x轴的下部。(二)作AH⊥x轴，点H为垂足，在Rt⊿AFH中，∠AFH=60º,|AF|=5/2.故|FH|=5/4.∴点A的横坐标为(5/4)-c.同理可知，点B的横坐标为-c-(5/8).由此可知，点A到左准线x=-a²/c的距离d1=(a²/c)-c+(5/4).点B到左准线的距离d2=(a²/c)-c-(5/8).（三）由e=2/3及椭圆的第二定义可得：|FA|=ed1.即5/2=(2/3)[(a²/c)-c+(5/4)].===>(a²/c)-c=5/2.又e=c/a=2/3.由此可解得：a=3,c=2,故b²=a²-c²=5.故椭圆方程为(x²/9)+(y²/5)=1.

Answer 2

离心率e=c/a=2/3，所以c=2a/3，b^2=a^2-c^2=5a^2/9

所以设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/(5a^2/9)=1.....1

左焦点F坐标为（-c，0），即（-2a/3，0）

直线方程的倾斜角为60度，则斜率为k=√3

所以，过F的直线方程为y=√3（x+2a/3）....2

1式与2式联立方程组得 x^2/a^2+3（x+2a/3)^2/(5a^2/9)=1

化简，32x^2+36ax^2+7a^2=0
则x1+x2=-36a/32=-9a/8
x1*x2=7a^2/32

而弦长公式L^2=(1+K^2)(x1-x2)^2

所以225/16=4*（81a^2/64-4*4a^2/32)

得a^2=144

所以b^2=5a^2/9=80,

所以椭圆方程为x^2/144+y^2/80=1

Answer 3

这题我月考刚刚考过，那时不会做哦，用几何或代数的方法都能做的哦，几何比较简单，3min搞定了，代数的话，用弦长公式就OK 了