Question

一道初中奥数题，急!!!!!!

如果对某一特定范围内的x的任一允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+......+|1-10x|为定值，则此定值为？

Answer 1

直接用几何法，有时会卡住。

用解析法，虽然笨，计算复杂点，但绝对不会卡住。建议适当情况下采用。

既然是奥数，默认直角坐标系和直线方程应该可以在初中范围内。

将图形变个方向，如下图：

不失一般性，可假设圆的半径为1，原点在圆心处，易得坐标A（0，-1）与B（0，1）

设C（a,√（1-a^2）），D（-a,√（1-a^2）），显然0<a<1。

由于M是OC中点，易得M（a/2,√（1-a^2）/2）

根据A和M得出直线AM的方程y=kx-1,其中k=[2+√（1-a^2）]/a

点E（x0，y0）在直线AM上，也在圆上，满足x0^2+y0^2=1

通过以上两式解出x0=2a[2+√（1-a^2）]/[4√（1-a^2）+5]

y0=1-2a^2/[4√（1-a^2）+5]

又，由B和C得直线BC的方程y=x[√（1-a^2）-1]/a+1

由D和E得直线DE的方程y-√（1-a^2）=(x+a)[y0-√（1-a^2）]/(x0+a)

以上两式解出点F的横坐标x=a/2（此式计算稍复杂，足够小心不犯错就可以）

F和M的横坐标都是a/2，故FM//AB，得证F为BC中点。

Answer 2

连接PC，过点C做CD⊥AB交AB于点D
∵∠ACB=∠PFC=∠PEC=90º
∴四边形PECF矩形
∴PC=EF
∵AC=1，BC=2
∴AB=√5
∵AC*BC=AB*CD
∴CD=2√5/5
∵CD≤PC=EF
∴EF的最小值是2√5/5

Answer 3

因为2+3+4+5+6+7=8+9+10=27

所以当P=|1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+......+|1-10x|
=1-2X+1-3X+1-4X+1-5X+1-6X+1-7X+8X-1+9X-1+10X-1
=6-3
=3

符合这个调节的X要小于等于1/7且要大于等于1/8

所以当1/8<=x<=1/7 时，P为定值3

Answer 4

定值表明和x无关，因此定值就是9个1的和，因此就是9

Answer 5

p=1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x-1+8x-1+9x-1+10x=3
看懂了吗?
就是说前面第一到第六个绝对值里面的是大于0，后三个绝对值里面的是小于0.
1-7x>0>1-8x,这个不等式自己会解吧。
所以，此定值为3