Question

这数学题怎么做哪……！！！

设函数y=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,c＞0，3a+2b+c＞0.求证：
（1）函数图象与x轴有两个不同的交点；
（2）-2＜b/a＜-1
（3）设x1,x2是函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，则（根号3）/3≤|x1-x2|＜2/3
哪个好心的告诉我吧，我真做不出55555

Answer 1

证明：
(1)因为a+b+c=0则b=-a-c，厅厅将其代入3a+2b+c＞0得a-c＞0.要证函数图象与x轴有两个不同的交点，只需证明方程3ax^2+2bx+c=0有两个相异实根，即证明4b^2-12ac＞0,将b=-a-c代入其中得4b^2-12ac=a(a-c)+c^2＞0。证毕。
(2)因为c＞0,所以c=-a-b＞0即-a＞b
将c=-a-b代入3a+2b+c＞0得扮咐隐3a+2b+c=2a+b＞0即简肢b＞-2a
又由（1）可知a＞c,所以a＞0。
所以-2a＜b＜-a即为-2＜b/a＜-1。
证毕。
（3）3ax^2+2bx+c=0由韦达定理得x1+x2=-2b/(3a) x1x2=c/(3a)
|x1-x2|=根号{（x1+x2）^2-4x1x2}=

Answer 2

（1）当a=0时，b+c=0⇒b=-c<0
又3a+2b+c=b>0,矛盾，∴a≠0，此函数为二次函数

a+b+c=0,c＞0⇒a+b＜0
3a+2b-（a+b）=2a+b>0
判别式△=4b²-4∙3a∙（-a-b）=4（b²+3ab+3a²）=4[(b+3a/2)²+3a²/4]>0
∴函数图象与x轴有两个不同的交点
（2）当a>0
a+b＜0⇒b/a<-1
2a+b>念银0⇒b/a>-2
即-2＜b/a＜-1
当a<0时，
a+b＜0⇒b/a＞-1
2a+b>猛搭0⇒b/a＜-2
b/a∈∅，
综上-2＜b/a＜-1
（3）令t=b/a
韦达定理
x_1+x_2=-2b/(3a)=-2t/3,x_1∙x_2=c/(3a)=(-a-b)/(3a)
=-1/3-b/(3a)=-1/3-t/3
∴（x_1-x_2）²=（x_1+x_2）²-4x_1∙x_2=(-2t/3)²-4（-1/3-t/3）
=4t²/9+4t/3+4/3=(4/9)[(t+3/2)²+3/4]=f（t）
当t∈（-2,-1）时，f（t）最小值=(4/9)(3/4)=1/3(可以取到)
f（t）最大值=f（-1）=f（-2）=4/9（不能取到）
∴√3/3≤|x_1-x_2|<仔知宴2/3

Answer 3

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