Question

高中数学。平面向量

设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,a向量∈V,记a向量的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a向量,b向量∈V及任意实数λ,μ都有f(λa向量+μb向量)=λf(a向量)+μf(b向量),则f称为平面M上的线性变换。求证:

(1)对a向量∈V设f(a向量)=2a向量,则f是平面M上的线性变换;

(2)设f是平面M上的线性变换,a向量,b向量∈V,若a向量,b向量共线,则f(a向量),f(b向量)也共线。

Answer 1

(1):
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则对f有
f(λa+μb)=f((λ*x1+μ*x2,λ*y1+μ*y2))=(2λ*x1+2μ*x2,2λ*y1+2μ*y2)=λf(a)+μf(b)
(2):
有a=x*b
因为f(λa向量+μb向量)=λf(a向量)+μf(b向量)
所以f(λa)=λf(a)成立(μ=0)
所以f(a)=f(x*b)=x*f(b)