Question

已知a^2+b^2+c^2=1 求证：-1/2<=a*b+b*c+a*c<=1

详细点的过程

Answer 1

(a+b+c)^2>=0,即a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>=0,由于a^2+b^2+c^2=1,所以ab+ac+bc>=-1/2；
另外，由题意得，2a^2+2b^2+2c^2=2,即(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)=2,由于a^2+b^2>=2ab,a^2+c^2>=2ac,b^2+c^2>=2bc,所以ab+ac+bc<=1

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=0
所以ab+bc+ac>=-1/2
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0
2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ac)
即ab+bc+ac<=1