Question

求证:2(sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)=sinx/(1+cosx)-cosx/(1+sinx)

Answer 1

解：
证法一：
sinx/(1+cosx)-cosx/(1+sinx)
=sinx+sin^2x-cosx-cos^2x/(1+cosx)(1+sinx)
=（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）/sinx+cosx+1+sinxcosx
=2（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）/2sinx+2ccosx+1+2sinxcosx+sin^2x+cos^2x
=2（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）/（sinx+cosx+1）^2
=2(sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)
证法二:
∵cosx/（1+sinx）=（1-sinx）/cosx
=cosx-sinx+1/1+sinx+cosx
sinx/（1+cosx）=（1-cosx）/sinx
=sinx-cosx+1/1+sinx+cosx
∴sinx/(1+cosx)-cosx/(1+sinx)
=（sinx-cosx+1）/（1+sinx+cosx）-（cosx-sinx+1）/（1+sinx+cosx）
=2(sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)
证法三：
sinx/(1+cosx)-cosx/(1+sinx)
=[(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx)][sinx/(1+cosx)-cosx/(1+sinx)]
=[1/(1+sinx+cosx)][sinx(1+sinx+cosx)/(1+cosx)-cosx(1+sinx+cosx)/(1+sinx)]
=[1/(1+sinx+cosx)][sinx+sin^2x/(1+cosx)-cosx-cos^2x/(1+sinx)]
=[1/(1+sinx+cosx)]（sinx+1-cosx-cosx-1+sinx）
=2(sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)