Question

f(x+f(x))=x,f(x)=?

f(x+f(x))=x,f(x)=?

Answer 1

不说啥 严重佩服lodos 他说的非常正确 我只考虑了连续可导的情况 有欠周全
他是正解 答案也可能是这种不连续的情况

这是前两种简单的情况
首先设 ,f(x)反函数g(x) 先证 g'(x)=1/f'(x)
y=f(x) 故 g(y)=x y'=f'(x) 对g(y)=x两边求导得
g'(y)y'=1 故g'(x)=1/f'(x)得证
现有f(x+f(x))=x 即 x+f(x)=g(x) 两边求导得
1+f'(x)=1/f'(x) （只需满足此式的函数均成立，但我这里只考虑了分别为两个解的情况 其实可以“复合”起来 就是楼上的“怪”解）
可解得f'(x)=-（√5+1）/2 or （√5-1）/2
故y= -（√5+1）x/2 或 y= （√5-1）x/2
其实“怪”解才是真的妙解

Answer 2

这题没写全吧？可能会有一些“怪”解：

令a=(√5-1)/2，S是全体形如ap+q（p、q是有理数）的实数所组成的集合。定义如下的函数f：

f(x)= ax（若x属于S）；-x/a（若x不属于S）

于是当x属于S时，令x=ap+q，则利用关系a^2+a=1，
f(x+f(x)) = f(ap+q + a^2p+aq) = f(p+q+aq) = a^2q+a(p+q) = ap+q = x
当x不属于S时，由于
x+f(x)= (1-1/a)x= -x/(a+1)
故x+f(x)也不属于S（否则x+f(x)=ap+q，而x=-(a+1)*(ap+q)=-(aq+p+q)属于S），从而
f(x+f(x)) = -(x-x/a)/a =x
题设关系仍得到满足。

Answer 3

更正

Answer 4

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