Question

求两道二次函数 （数形结合思想）解法

1.已知关于x的实数系数方程x²+ax+b=0，两实数根为α、β，求证：
1）如果|α|＜2，|β|＜2，则2|α|＜4+b，且|b|＜4
2）如果2|α|＜4+b，且|b|＜4，则|α|＜2，|β|＜2

万分感谢！！！！

Answer 1

1.|α|<2，|β|<2 设f(x)=x^2+ax+b 说明这个开口向上的抛物线与x轴有两个交点，即判别式大于0，即a^2-4b>0;对称轴在(-2,2)中，即-2<-a/2<2,即-4<a<4,即可得到a^2<16把判别式变形可以得到b<a^2/4<16/4=4;两个实根绝对值小于2，由于已经确定对称轴在(-2,2)中，可以得到 f(-2)=4-2a+b>0,f(2)=4+2a+b>0,与这两个式子等价的式子是 4+b>2a,4+b>-2a，即4+b>2|a|>0，即同时可得b>-4与上边结论结合知4+b>2|a|且|b|<4 证毕
2. 2|a|<4+b和f(-2)>0,f(2)>0是等价的，现在就看看结合|b|<4能否推出a^2-4b>0和-2<-a/2<2 由于|b|<4,得到-4-b<0<4+b，故由2|a|<4+b可得 -4-b<2a<4+b,对此不等式两边同时乘以-1/2,由|b|<4可得-2<-(4+b)/2<-a/2<(4+b)/2<2即得对称轴在(-2,2)中 ，由于对称轴在(-2,2)中，f(-2)>0,f(2)>0，根一定在(-2,2)中 请注意，这个时候方程不一定存在根，比如a=0,b=3，方程无根，但如果有根则一定符合题设结论。