Question

函数的难题(急啊)

1.函数y=f(x)是以4为周期的周期函数，且当x在[-2，2）时，f(x)=x/2+1则当x在[2n,2n+4）时，试求函数f(x)的解析式

2.函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)，若f(x)为奇函数，且当x在[0，1]时,f(x)=0.5x,求 f(x)=-0.5的所有x

Answer 1

1、周期函数 相当于f(x)=x/2+1不停的向右平移4个单位
x在[2n,2n+4）时 f(x)=x/2-2n

2、不难得f(x+2)=f(x)， f(x)是周期为2的奇函数了
画下图就知道f(x)=-0.5的所有x是R上的全体奇数

Answer 2

1、f(x)=x/2+1
2、x=4k-1,k为整数

Answer 3

1、x∈[2n,2n+4）,则x-(2n+2)∈[-2,2）,x-2n∈[0,4）
函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,且当x∈[-2，2）时，f(x)=x/2+1
所以,x∈[2n,2n+4）,当n=2k+1 (k∈Z)时,
f(x)=f[x-4(k+1)]=f[x-(2n+2)]=[x-(2n+2)]/2+1=(x/2)-n;
当n=2k (k∈Z)时,
f(x)=f(x-4k)=f(x-2n)
当x∈[2n,2n+2）,f(x-2n)=(x-2n)/2+1=(x/2)-n+1
当x∈[2n+2,2n+4）,f(x-2n)=f(x-2n-4)=(x-2n-4)/2+1=(x/2)-n-1
综上所述，x∈[2n,2n+4）,
当n=2k+1 (k∈Z)时,f(x)=(x/2)-n;
当n=2k (k∈Z)时, f(x)=(x/2)-n+1 x∈[2n,2n+2）
{
f(x)=(x/2)-n-1 x∈[2n+2,2n+4）

2、f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，
f(x+2)=-f(x)=f(-x)，所以x=1是函数 f(x)的一条对称轴；
又f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，可知f(x)是周期为4的奇函数。
当x在[0，1]时,f(x)=0.5x,
根据周期性和对称性可得 f(x)=-0.5的所有x：
x=4k-1,k为整数.（画图便知）