Question

高数问题，高手请进

已知f(x)在(0,+无穷)上有定义，且f'(1)=a(a不等于0),又对于任意的x,y属于(0,+无穷)有f(xy)=f(x)+f(y)，求f(x).

Answer 1

令xy=u;
对f(xy)=f(x)+f(y)左右两端对y求导，
f`(u).x=f`(y);
当y=1时,
有xf`(x)=f`(1)=a;
f`(x)=a/x;
积分得，f(x)=alnx + C;(x>0)
又由于f(xy)=f(x)+f(y);
所以aln（xy）+ C = alnx + C + alny + C;
C=0;
所以f(x)=alnx;(x>0)

Answer 2

你看这样行不：
设 正数xy=1(对任意x都有y) f(xy)=f(x)+f(y) 对x两边求导为 yf'(1)=f'(x)
a/x=f'(x) 积分得
f(x)=alnx+c f(xy)=f(x)+f(y)
alnxy+c=(alnx+c)+(alny+c)
c=0 f（x）=alnx