Question

导数（数学）

设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为

Answer 1

设底面等边三角形的边长为x
则底面等边三角形的面积为：S1=x²·sin60°·1/2=(√3/4)x²
而该直棱柱的体积为V
∴直棱柱的高为：h=V/S1=(4√3/3)V/x²
则每个侧面的面积为：S2=x·h=(4√3/3)V/x
那么，其表面积为：
S=2S1+3S2
=2(√3/4)x²+3(4√3/3)V/x
=(√3/2)x²+(4√3)V/x
=(√3/2)(x²+4V/x+4V/x)
≥(√3/2)×3×(x²·4V/x·4V/x)^(1/3)
=(3√3/2)(16V²)^(1/3)
=(3√3)(2V²)^(1/3)
当且仅当x²=4V/x=4V/x，即x³=4V，x=(4V)^(1/3)时
等号成立
即：当直棱柱表面积最小时，底面边长为(4V)^(1/3)