Question

圆0的半径为R,弦ABCD互相垂直,连接ABDC(1)求证AD平方+BC平方+4R (2)如果ADBC是方程X平方-6X+5的两根，求R

Answer 1

1)求证AD^2+BC^2=4R^2
连接OA，OD，OB，OC
根据余弦定理
AD^2=OD^2+OA^2-2OA*OD*COS∠AOD=2R^2-2R^2*COS∠AOD
同理:BC^2=2R^2-2R^2*COS∠BOC
因为∠AOD和∠BOC互补(作AB的平行线A1B1,且关于圆心O对称；作CD的平行线C1D1,且关于圆心O对称，这样就很容易证明∠AOD和∠BOC互补）
AD^2+BC^2
=4R^2-2R^2(COS∠AOD+COS∠BOC)
=4R^2-2R^2(COS∠AOD-COS∠AOD)
=4R^2

(2)如果ADBC是方程X^2-6X+5=0的两根，求R。
X1=1，X2=5
AD^2+BC^2=1*1+5*5=26=4R^2

R=√26/2