Question

为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢？

Answer 1

命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。证明如下：
设λ1,λ2是两个A的不同特征值，α1, α2分别是其对应的特征向量，有
A * α1 = λ1 * α1, A * α2 = λ2 *α2
分别取转置，并分别两边右乘α2和α1，得
α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2, α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0，因此 α1' * α2 = 0
即 α1与α2 正交。