Question

已知Rt△ABC，中∠ACB=90°，AC=BC，∠AED=90°，AE=DE，将Rt△AED绕A

已知Rt△ABC，中∠ACB=90°，AC=BC，∠AED=90°，AE=DE，将Rt△AED绕A旋转使D、E、B三点共线，F为BD中点如图①求证BE－DE=2CF(2)其他条件不变，继续旋转Rt△AED至②

Answer 1

参考
⑴BE＋DE＝2CF；∵∠AEB＝∠ACB＝90°∴A、E、B、C四点共圆∴∠BAC＝∠BEC＝45°＝∠AEC连接CD∴⊿CEA≌⊿CED∴CD＝CA＝CB又点F为DB的中点∴CF⊥BD∴CF＝EF＝DF＋DE＝½﹙2DF＋2DE﹚＝½﹙BE＋DE﹚即BE＋DE＝2CF
⑵BE－DE＝2CF；设AB的中点为O﹐连接OC、OF﹐∵∠AEB＝∠ACB＝90°∴A、E、C、B四点在圆O上∴∠BOC＝2∠BAC﹐∠BEC＝∠BAC＝∠DAE(后一等号因为Rt⊿ACB∽Rt⊿AED)；∴OF∥AD∴∠BOF＝∠BAD∴∠COF＝∠BOF－∠BOC＝∠BAD－2∠BAC＝∠CAE＝∠CBE∴O、B、C、F四点共圆∴∠BFC＝∠BOC＝2∠BAC＝2∠BEC∴∠FCE＝∠FEC∴FE＝FC∴BE－DE＝BD－2DE＝2DF－2DE＝2EF＝2CF