Question

已知等差数列an中，a1=1,前n项和Sn=n+2/3 乘an,求a2.a3

求an的通项公式

Answer 1

解析如下：

a1=1,
S2=a1+a2=(4/3)a2, 1+a2=(4/3)a2 a2=3
S3=a1+a2+a2=1+3+a3=((5/3)a3, a3=6

因此作出猜想：an=n(n+1)/2

接下来用数学归纳法证明。
证明：a1=1=1*2/2 a2=3=2*3/2, a3=6=3*4/2,
对n=1,2,3时都正确（实际上只要验证n=1即可）
设n<k时成立,即当n<k时 an=n(n+1)/2,
则当n=k时：
Sk=a1+a2+a3+.....+a(k-1)+ak=[(k+2)/3]ak
1*2/2+2*3/2+3*4/2+.....+(k-1)k+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)+ak=[(k+2)/3]ak
(k-1)k(k+1)/(1*2*3)=[(k+2)/3-1]ak=[(k-1)/3]ak
ak=k(k+1)/2.
即当n=k时成立，故an=n(n+1)/2.

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