Question

高一不等式的证明题

已知a+b+c=1 证明
(1)a2+b2+c2>=1/3
（2）1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
(3)√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）<=√21
(4)1/a+2/b+4/c>=18

Answer 1

1。
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
又因为（2）a^2+b^2>=2ab
（3） a^2+c^2>=2ac
（4）b^2+c^2>=2bc
把上面4个式子的左边加起来大于等于4个式子右边加起来

3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc≥1+2ab+2ac+2bc

就是3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc >=1+2ab+2ac+2bc

所以a^2+b^2+c^2>=1/3

2。
左右都乘以2，得2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)≥9，2用（a+b)+(b+c)+(a+c)代替即可得证

3。
解：用柯西不等式
[√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)]^2≤(1+1+1)（4a+4b+4c+3）=21

4。
楼主应该知道a+b+c>=3*(abc)^(1/3)这个不等式吧 也就是均值不等式的扩展式
可得（abc）^(1/3)<=1/3
所以（abc）^(1/3)分之1大于等于3
然后就可以得到1/a+2/b+4/c>=3*2*3=18
（abc）^(1/3)是abc的立方根，百度打不出来立方根。。。。

Answer 2

这三个题，最好都用柯西不等式来证，别的方法也可以，但比较繁。