Question

一张矩形纸片ABCD,现将主张纸片如下方法进行折叠,请解决下列问题:如图1,折痕是AE,

一张矩形纸片ABCD，现将这张纸片按如下方法进行折叠，请解决下列问题：
（1）如图1，折痕是AE，点B的对应点F在AD上，求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如图2，折痕是EF，点B的对应点是顶点D，连接BF，求证：四边形BEDF为菱形；
（3）如图3，折痕是AE，E为BC的中点；点B的对应点B1落在AF上，点F在DC上。已知AD=8，AB=6，求DF的长。

Answer 1

(1)∵△AEF是由△AEB折叠而成的
∴△AEF≌△AEB
∴EF=EB. AB=AF
又∵∠BAF=90°
∴四边形ABEF是正方形。
（2）由题意知，△DEF≌△BEF,△ABF≌△A‘DF,且∠A'DE=∠ABE=90°，∠A=∠A'=90°
∴∠A'+∠A'DE=180°
∴DE∥A'B ∴∠DEF=∠BFE
又∵△DEF≌△BEF，∴∠DEF=∠BEF，∠DFE=∠BFE
∴∠DFE=∠BEF ∴DF∥BE
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵BF=DF，BE=DE(三角形全等)
∴四边形BEDF是菱形。
（3）连接EF,则有CE=EB=EB'，∠C=∠EB'F=90°，故有△EB'F≌△ECF(HL)
∴B'F=CF
设DF=x,则CF=B'F=6-x,在Rt△ADF中有
DF^2+AD^2=AF^2
即x^2+8^2=[6+(6-x)]^2
解得x=10/3