Question

一道高中数学题

题文见图片
请说明详细解题过程，谢谢

Answer 1

lgx+x=3   =>   lgx=3-x     求x1

10^x+x=3  =>   10^x=3-x    求x2

令f(x)=lgx，g(x)=10^x，h(x)=3-x，

记f(x)与h(x)的交点为 A(x1,3-x1)，g(x)与h(x)的交点为 B(x2,3-x2)，

如图，

∵f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称，h(x)图像也关于y=x对称，

∴点A与点B关于y=x对称，

即可得  x1+x2=3，

解题完毕。

Answer 2

方程化为
lgX=3-X
10的X次方=3-X
作出y=lgX，y=10的X次方，y=3-X的图像，
可以得出，x1，x2的中点是y=3-x与y=x的交点
x1+x2=3（y=10的x次方与y=lgX互为反函数）

Answer 3

把第一个方程变形成为lgX=3-X,X1就是y=3-x与y=lgx的交点的横坐标。同理，X2是y=3-x与y=10x次方的交点的横坐标。又这两个与y=3-x相交的函数互为反函数。y=3-x又与y=x垂直。故有，（X1,X2）在直线上，既是x2=3-x1由此得x1+x2=3。
回答完毕。

Answer 4

lgx1=3-x1
10^x2=3-x2

lgx和10^x互为反函数
关于y=x对称
3-x垂直于y=x
所以也关于y=x对称
y=3-x和y=x交点是(3/2,3/2)

假设lgx和3-x交点是A
则A关于y=x的对称点在10^x上
同时y=3-x关于y=x对称
所以y=3-x上的点的关于y=x对称的点也还在y=3-x上
所以lgx和3-x交点关于y=x对称既在10^x上，又在y=3-x上
即10^x和y=3-x的交点
所以x2就是这个点的横坐标，而x1是A的横坐标
他们都在3-x上，且关于y=x对称
所以y=3-x和y=x交点(3/2,3/2)是这两个点的中点
所以(x1+x2)/2=3/2
x1+x2=3

Answer 5

画图像解决

Answer 6

由题意有x2+10^x2=3,得到10^x2=3-x2 两边取关于10的对数得到
x2 = lg(3-x2),即 (3-x2)+lg(3-x2)=3,即3-x2是方程lgx + x =3的解，
那么有x1=3-x2,即x1+x2=3.如果感觉欠严格可由单调性说明两方程均仅有唯一解。