Question

请教一道排列组合题

有n封不同的信，和n个信封印上了相应的地址。将这n封信放入n个信封中。
求至少有一封信刚好放进正确信封中的概率
我已经算出来概率是：
P=1 - 1/2! + 1/3! - 1/4! + ...+(-1)^n/n!
那么当n趋向于无穷大时，这个概率的极限是多少？

Answer 1

这道题和全错位排列是相反的 全错位排列的计算见参考资料证明：
n个相异的元素排成一排a1,a2,...,an,且ai(i=1,2,...,n)不在第i位的排列数为n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)证明：
设1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),
则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.
所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.
注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1.
由容斥原理：
Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!
=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)为全错位排列
本题即n!-n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
=n!(1/1!-1/2!+1/3!+...+(-1)^(n-1)*1/n!)