Question

求证：方程x^3+2x^2+2x+1=y^2没有正整数解(x,y)

Answer 1

(x+1)(x²+x+1) = y².
当x为正整数时, 易见x+1与x²+x+1 = x(x+1)+1是一对互质的正整数.
而由y是正整数时, 二者乘积y²为完全平方数.
可知当(x,y)是一组正整数解时, x+1与x²+x+1必须同时为完全平方数.
然而x² < x²+x+1 < x²+2x+1 = (x+1)²,
即x²+x+1夹在两个相邻完全平方数之间, 不可能为完全平方数.
因此方程没有正整数解.

Answer 2

令x+1=m那么y^2 =m（m（m-1）+1）
（m，m（m-1）+1）=1
而m（m-1）+1是非平方数，
所以原方程无正整数解