Question

已知函数f(x)=ln(x^2+1)-(ax-2)

已知函数f(x)=ln(x^2+1)-(ax-2)
(1)若函数f(x)是R上的增函数,求a的取值范围
(2)若|a|<1,求fx的单调递增区间

Answer 1

解:(1)若f(x)在R上是增函数,则其一阶导数在R上始终>0.

f'(x)=2x/(x^2+1)-a=(-ax^2+2x-a)/(x^2+1)>0.由于对任何X,都有 x^2+1>0,故可去分母得-ax^2+2x-a>0,即ax^2-2x+a<0.要使此不等式成立,需分两种情况进行讨论:1).a>0.则由△=4-4a^2<0,得a^2>1,即｜a｜>1,也就是

a>1或a<-1.故使f(x)在R上是增函数的 a的取值范围为{a>0}∩{a>1}={a>1}.

2).{a<0}∩{a<-1}={a<-1}.即a>1或a<-1是第1问的解.

(2).若｜a｜<1,即-1<a<1时(a≠0),二次三项式ax^2-2x+a的判别式 △=4-4a^2>0,方程ax^2-2x+a=0的根为x1=[2-2√(1-a^2)]/2a=[1-√(1-a^2)]/a;x2=[1+√(1-a^2)]/a.当-1<a<0时,不等式ax^2-2x+a<0的解为:

[1+√(1-a^2)]/a<x<[1-√(1-a^2)]/a,即当X在此范围内时,f(x)是增函数;

而当X<[1+√(1-a^2)]/a或X>[1-√(1-a^2)]/a时,f(x)是减函数.

当0<a<1时,不等式ax^2-2x+a<0的解为[1-√(1-a^2)]/a<x<[1+√(1-a^2)]/a

即当x在此范围内时,f(x)是增函数;而当X<[1-√(1-a^2)]/a或x>[1+√(1-a^2)]/a时,f(x)是减函数.

当 a=0时,不等式ax^2-2x+a<0变成了-2X<0,此时,X>0时,f(x)单调增;X<0时

f(x)单调减.