Question

已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2-2x(a<0)

已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2-2x(a<0) (1)当f'(x)=-1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程; (2)若f(x)在定义域内单调递增，求a取值范围; (3)若a=1/2，求函数F(x)=f(x)+1/2x在[1，4]上的极值 求答案，和讲解
(3)若a=-1/2，打错了抱歉!

Answer 1

（1）f(x)=lnx-1/2ax^2-2x(a<0)，f'(x)=1/x-ax-2
f'(1)=-1=1-a-2=-a-1 => a=0
∴f(1)=0-0-2=-2
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为
y=-1(x-1)-2=-x-1
（2）f(x)定义域为x>0
单调递增，则 f'(x)=1/x-ax-2>0
解得 a<(1-2x)/x^2
∵(1-2x)/x^2的取值范围为[-1,+∞)
∴a的取值范围为 a<1
（3）若a=-1/2，则f(x)=lnx+x^2/4-2x
F(x)=f(x)+1/2*x=lnx+x^2/4-3x/2
F'(x)=1/x+x/2-3/2
令F'(x)=0，可解得
x1=1，x2=2
此时，F(x1)=-7/4, 为极大值
F(x2)=ln2+1-4=ln2-3, 为极小值
∴函数F(x)在区间[1,4]上，
极大值为-7/4, 极小值为ln2-3

Answer 2

第一个问题应该是（1）当a=--1时，。。。。对吗？