Question

已知函数f(x)=a-x2/x+lnx(a∈R,x∈[1/2,2])

已知函数f(x)=a-x^2/x+lnx(a∈R,x∈[1/2,2]).
(I)当a∈[-2,1/4)时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)设g(x)=[f(x)-lnx]·x^2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,是否存在实数a,使得k<1恒成立?若存在,求口的取值范围;若不存在,请说明理由.
是的，是(a-x^2)/x+lnx

Answer 1

对f(x)求导

f'(x)=(-x^2+a)/x^2+1/x

     =(-x^2+x-a)/x^2

令-x^2+x-a=0

Δ=1-4a>0

故x=(1+根号下(1-4a))/2或x=(1-根号下(1-4a))/2(舍)

因<1/2(1+根号下(1-4a))/2≤2

①1/2<(1+根号下(1-4a))/2<2时，即a≠-2时

x [1/2,(1+根号下(1-4a))/2) (1+根号下(1-4a))/2) ((1+根号下(1-4a)/2),2]     

f'(x)       +                     0                  -

f(x)       ↗                   极大值               ↘

故f(x)max=f(1+根号下(1-4a))/2)=4a/(1+根号下(1-4a))-1+ln(1+根号下(1-4a))/2)

当a=-2时，f'(x)≥0，f(x)在域上单增

故f(x)max=f(2)=f(1+根号下(1-4a))/2)=ln2-3=4a/(1+根号下(1-4a))-1+ln(1+根号下(1-4a))/2)

综上；f(x)max=(4a-1)/(1+根号下(1-4a))-1+ln(1-根号下(1-4a))/2)

第二问等价于g'(x)max<1

求出g'(x)=-3x^2+a

①a≤0

结论成立

②a>0

因g'(x)在全域单减

故g'(x)max=g'(1/2)<1

解得0<a<7/4

综上；a∈(-∞,7/4)

Answer 2

a-x^2/x是（a-x^2）/x吗？

Answer 3

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