Question

高三选修不等式题目！急！

1。当x属于实数时，证：1+2x^4>=2x^3+x^2

2。已知a>2求证 ln(a-1)/lna <lna/ln(a+1)

Answer 1

1）
直接做差比较容易得出：
2x^4-2x^3-x^2+1=2x^3(x-1)-(x^2-1)=2x^3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)[2x^3-（x+1)]=(x-1)(x-1)(2x^2+2x+1)=(x-1)^2(2x^2+2x+1)=(x-1)^2[x^2+(x+1)^2]≥0,所以1+2x^4≥2x^3+x^2。
2）
令f(x)=lnx/（x+1） x∈（1，+∞）
f'(x)=[1/x*（x+1）-lnx]/(x+1)^2=[(x+1)-xlnx]/x(x+1)^2
要判断单调性，关键是确定（x+1)-xlnx和0的关系
g(x)=(x+1)-xlnx
因为x∈（1，+∞）
g'（x）=1-1+lnx>0
所以f'(x)>f(1)=(2-0)/4>0
所以f(x)是单调增函数
所以f(a-a)<f（a）
所以a>2时
ln(a-1)/lna <lna/ln(a+1)

Answer 2

1.左边一右边＝1+2x^4－2x^3-x^2＝2x^3(x-1)-(x^2-1)
=2x^3(x-1)-(x+1)(x-1)
=(x-1)(2x^3-x-1)
=(x-1)[2(x^3-x)+(x-1)]
=(x-1)[2x(x-1)(x+1)+(x-1)]
=(x-1)^2(2x^2+2x+1)（*）
后面括号二次三项式恒为正，故（*)≥0恒成立
于是原命题得证

2.即证ln(a-1)ln(a+1)<ln^2a
左式<〔ln(a-1)＋ln(a+1)〕^2/4
=[ln(a^2-1)]^2/4
<[ln(a^2)]^2/4
=ln^2a
故原命题得证。

Answer 3

第一题:全弄到左边 变成2x^3(x-1)-(x+1)(x-1)>=0
(x-1)(2x^3-2x^2+2x^2-2x+x-1)>=0
(x-1)^2(2x^2+2x+1)>=0
前面是一个平方式 后面是x+1的平方+x方
证毕 x=1时候取等号

第二题 换底公式 变成求证a-1/a<a/a+1
交叉相乘 证完了