Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx （a,b∈R)

1.当a=1时 求函数f(x)单调区间
2.若f(1)=1/3，且函数f(x)在（0,1/2)上不存在极值点，求a的取值范围

Answer 1

证明：对函数求导可得，f′（x）=x�0�5+2ax+b，
因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x�0�5+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴f′(1)=1+2a+b＞0，(1)
f′(2)=4+4a+b＞0， (2)
1＜-a＜2，(3)
△=4(a�0�5-b)＞0. (4)
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a�0�5+a，
∴-2＜a＜-1，又a�0�5+a=(a+1/2)�0�5-1/4＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）

因为想要导函数是开口向上的二次函数，且开口向上，所以要满足这几个条件，式子（1）、（2）意思是在x=1,2时导函数的值在x轴的上方，式子（3）指的是对称轴要在区间（1，2）之间，式子（4）指的是其图像要与x轴有两个交点，你画画图，只要具备了这几个条件，那么就可以确定f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点了。 别认为自己笨，数学需要扎实的基础，再加上明确的思路和方法，而这一切都需要自己多记多总结，在巩固一下就会慢慢变好的。。加油哦！