Question

在四边形ABCD中AB∥CD,∠C=90°

在四边形ABCD中AB‖CD,∠C=90°如果DC=10，BC=11，AB=12，NM垂直平分AD于M，交BC于N，求MN的长；
探究:如果AB+CD=2BC，MN仍为AD的垂直平分线且交BC于N，MN与AD是否相等？若相等，请证明，若不相等，请说明原因。

Answer 1

过点A、D作BC边上的垂线，设交BC于E、F
△ABE和△DCF全等
所以AE=DF
又因为AE‖DF
所以四边形ADFE是矩形
所以AD‖BC所以是梯形，又因为AB=CD
所以是等腰梯形

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追问

没让你们求证时等腰梯形

追答

但是方法求是一样的。

追问

那你能不能写下来

追答

连接DN,AN设BN长为a则CN长为11-a,AN=DN,利用勾股定理求出a,进而求出DN,然后过D点作DE垂直于AB于E,DE=11，AE=2利用勾股定理求出AD,再求出DM,再利用勾股定理求出MN即可

Answer 2

DA＝MN。
理由：
∵AB∥DC，∠C＝90º，MN⊥AD，
∴∠A＋∠ADC＝90º，∠MNC＋∠ADC＝90º，
∴∠A＝∠MNC；
取BC的中点E，连结ME，
则ME∥DC∥AB，ME⊥BC，
AB＋DC＝2ME，
又AB＋DC＝2BC，
∴ME＝BC；
过D作DF⊥AB于F，
则DF＝BC，
∴DF＝ME，
在△DAF和△MNE中
∠A＝∠MNC，
∠DFA＝∠MEN＝90º，
DF＝ME，
∴△DAF≌△MNE﹙AAS﹚，
∴DA＝MN。

Answer 3

过点A、D作BC边上的垂线，设交BC于E、F
△ABE和△DCF全等
所以AE=DF
又因为AE‖DF
所以四边形ADFE是矩形
所以AD‖BC所以是梯形，又因为AB=CD
所以是等腰梯形