Question

题干如下：设总体X的概率密度为f(x;μ,θ)=(1/θ)*e^(-(x-μ)/θ),试求μ,θ的矩估计量

答案中μ1=E(X)=∫μ∞x*1/θ*e^(-(x-μ)/θ)dx=μ+θ,u2=E(X^2)=u^2+2θ﹙μ+θ﹚积分过程稍嫌简略，望广大知友具体步骤详细推演一下，不才不胜感激。

Answer 1

1/θ∫(θt+u)e^(-t)d(θt+u) //d(θt+u)=θdt，这个θ和1/θ抵消了

=∫θte^(-t)dt+∫ue^(-t)dt //第一个积分可以分部积分

=-θte^(-t)+∫θe^(-t)dt-ue^(-t)  //这一步前两个式子是分部积分得来的 

=-θte^(-t)-θe^(-t)-ue^(-t) 

E(X^2)的积分就相当于E(X)的积分式子里x换成x^2，会有两次分部积分。

扩展资料：

设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0（或恒有g'(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

Answer 2

答案不是挺清楚的么，E(X^2)就是E(x)的被积函数乘1个x，再积分就行了

追问

是具体的积分过程不清楚，望告知。

追答

这个写起来真的太长了。。。
你可以设t=(x-μ)/θ，替换以后积分会稍微轻松一点

追问

我试过换元得不出答案，积分基础很弱，你只要把积分后还没有代入上下标的式子写出来让我对照着摸索一下就可以了。

追答

1/θ∫(θt+u)e^(-t)d(θt+u) //d(θt+u)=θdt，这个θ和1/θ抵消了
=∫θte^(-t)dt+∫ue^(-t)dt //第一个积分可以分部积分
=-θte^(-t)+∫θe^(-t)dt-ue^(-t) //这一步前两个式子是分部积分得来的
=-θte^(-t)-θe^(-t)-ue^(-t)

E(X^2)的积分就相当于E(X)的积分式子里x换成x^2，会有两次分部积分