Question

已知函数f(x)=sinωx+√3sinωxsin(ωx+π/2),(ω＞0)的最小正周期为π：

（1）求ω的值； （2）求函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围。

Answer 1

解： f(x)=sin^2ωx+√3sinωxsin(ωx+π/2) =sin^2ωx+√3sinωxcosωx =1-cos^2wx+√3/2*sin2wx =1-(cos2wx+1)/2+√3/2*sin2wx =1/2+(√3/2*sin2wx-1/2*cos2wx) =1/2+sin(2wx-π/6) 1) 最小正周期=2π/2w=π w=1 2) 在区间[0,2π/3]上 2x-π/6=π/2,x=π/3时，f(x)有最大值=1/2+1=3/2 x=0时，f(x)有最小值=1/2-1/2=0 函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围 :[0,3/2]
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Answer 2

f(x)=sinωx+√3sinωxsin(ωx+π/2) =sinωx+√3sinωxcosωx =sinωx(sinωx+√3cosωx) =sinωx*2[sinωxcos(π/3)+sin(π/3)cosωx] =2sinωxsin(ωx+π/3) =cos[ωx-(ωx+π/3)]-cos[ωx+(ωx+π/3)] =-cos(2ωx+π/3)+1/2 因为ω＞0，最小正周期为2π/(2ω)=π，所以ω=1， f(x)的增区间为[π/3+kπ, 5π/6+kπ]，减区间为[-π/6+kπ, π/3+kπ] 在区间[0,2π/3]，最大值为x=π/3处，f(π/3)=1+1/2=3/2 最小值f(0)=f(2π/3)=-cos(π/3)+1/2=0 函数f(x)在区间[0,2π/3]上的取值范围为[0,3/2]