Question

如图，已知AB=AC,D是AB上的一点，DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F，试说明△ADF是等腰三角形

如图，已知AB=AC,D是AB上的一点，DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F，试说明△ADF是等腰三角形

Answer 1

证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB=∠FEC=90°．
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°．
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC=∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形．

Answer 2

解：因为 de垂直bc，所以∠dbe+∠edb=90°；
因为ab=ac，所以∠abc=∠acb，
所以∠acb+∠edb=90°；因为∠edb=∠adf，
所以∠acb+∠adf=90°；因为de垂直bc，
所以∠acb+∠cfe=90°，所以∠adf=∠cfe=∠afd，
所以ad=af，所以三角形adf是等腰三角形。

Answer 3

因为AC=AB,因此角C=角B；角FEB=角C+角F=角B+角F=90度
角EDB+角B=角DEB=90°，又因角ADF=角EDB（对角相等），因此角ADF+角B=角DEB=90°
因为角B=90°-角F=90°-角ADF，所以角F=角ADF，AD=AF,因此△ADF是等腰三角形