Question

设双曲线C：x^2/a^2-y^2=1（a＞0）与直线l：x-y=1相交与两个不同的点A、B

（1）求双曲线的离心率的取值范围 （2）设直线l与y轴的交点为P，且向量PA=5/12向量PB，求a的值

Answer 1

解：整理得x^2-a^2y^2=a^2 y=x-1(1)二者有2个不同的交点A,B,解方程得:x^2-a^2(x-1)^2=a^2，x^2-a^2(x^2-2x+1)=a^2，(1-a^2)x^2+2a^2x-2a^2=0，△=4a^4+8a^2(1-a^2)， =4a^4+8a^2-8a^4 =8a^2-4a^4>0故2a^2-a^4>0 a^2＜2 c=√(a^2+1)e=c/a=√(a^2+1)/a=√(1+1/a^2)所以 1<e<√6/2。 （2）P的坐标是(0,-1),设A(x1,y1),B(x2,y2)由向量PA=5/12向量PB可得(x1,y1+1)=5/12(x2,y2+1)所以x1=5/12x2因为x1+x2=2a^2/(a^2-1),x1x2=2a^2/(a^2-1)所以x1+x2=x1x2,代入得17/12x2=5/12x2^2所以x2=17/5,代入方程中得： a=17/13。