Question

求函数极限的两个问题

1.既然x趋近于x0，就是x不等于x0，那为什么可以将x0带入求极限呢？
2.当x趋近于正无穷的极限和趋近于负无穷的极限不相等时，这时x→∞的极限是不存在还是分别说存在呢？

Answer 1

1 求极限用代入(不是带入)是因为这个函数在这点连续 函数的极限等于函数值 所以求极限就等同于求函数值 而求函数值就是代入法 如果不能确定函数连续 是不能用代入法的
2 此时说x趋向无穷时极限不存在 当然说x趋向正负无穷时可分别说明存在

追问

比如1/(x-3)，此时函数在x=3处不连续，但若要求x=3处的极限，也是将3代入求得的啊，不连续这不也代入了吗？

对了，还有，怎样快速判断连不连续啊？做题的时候好像都是直接代入的，像有些式子也比较复杂，很少会先去证明它连续，这样是不是不太严谨？书上说多项式可以直接代入，为什么多项式就一定是连续的呢？

追答

1/(x-3)在x=3处的极限是不能代入的：分母等于零有意义吗？

有一个定理你可能没有注意到：初等函数在其定义域内都是连续的。正是由于这个定理，把求极限的问题转化为求函数值问题。多项式在R上连续，所以求极限等于求函数值，即你所说的代入。不是初等函数或再初等函数没有定义的地方还是要用适当的方法。如在x=3，分式（x*x-7x+12)/(x-3).

追问

书上是把1/(x＋3)先取倒数再代入再取倒数的。这样不算是代入吗？

追答

用到的是倒数是无穷小量，那么它自身是无穷大量。1/0是没有意义的。

追问

你刚才举的例子该怎么解啊？

这例子好难，指点一下呗

追答

因为当x趋向-3时x+3趋向零，因而是无穷小量。因为无穷小量的倒数（只要x+3不等于零，这总是满足的，因为在考虑极限时是不考虑x=-3的）是无穷大量，所以1/(x+3)当x趋向-3时为无穷大量。可以写出极限式 lim_x。。。

追问

感谢

我还有一个问题待回答，能麻烦你去看一下吗

追答

没看到问题，抱歉！

追问

一致连续里，x1x2可以任取，普通连续里x，x0也可以任取，这样二者有什么区别呢

虽然普通连续是要先选定x0，但是一致连续里我也可以假定先选取一个x2啊，二者都是任取的这样两个概念有什么区别呢

追答

一致连续要求连续有一致性 打个比方 你们学校毎个人都能跑一百米 (即每个点都连续)但速度不一样 𣎴一致连续的情况就像下面的例子 设想你们学校有无数个学生 学号从1排到无穷 设想学号为n的同学跑一百米要n秒 那有没有时间所有的同学离开终点都在10米之内呢？(包括已经到了终点的学生) 就每个人来说都会跑到终点 但对众人来说 没有这种一致性 。一致连续的要点在于 是否有普适的距离 当x与其相差小于该距离时对应的函数值都小于同一个数呢？
友情提醒：还是要仔细读懂教材“书读百遍 理义自现”

追问

在普通连续里的x不也可以任取吗？在一致连续里x2也可以任取，那这样，自变量和函数值的范围都是一样的，二者有什么区别呢？我这样理解对不对:在普通连续里对于一个ε，在x0不同处有不同的δ，在一致连续里，对于一个ε，总有一个δ满足所有的x

追答

理解对了

追问

但是从概念的叙述中哪体现出来普通连续和x0有关了啊？他们俩的式子都是一样的啊，x，x0，x1，x2都可以任取那不就是一样的了吗？？