已知函数f(x)=x 2 +2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(

已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)... 已知函数f(x)=x 2 +2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间. 展开
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(1) f(x)的最小值是-1, f(x)的最大值是35.  (2) a≤-6或a≥4. (3) f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].


试题分析:(1)当a=-2时,f(x)=x 2 -4x+3=(x-2) 2 -1,
由于x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,      2分
∴f(x)的最小值是f(2)=-1,                        3分
又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.       4分
(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,
所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,
应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.            6分
(3)当a=1时,f(x)=x 2 +2x+3,
∴f(|x|)=x 2 +2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],        8分
且f(x)= ,                  10分
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].    12分
点评:一元二次函数的单调性与其对称轴有关,故一元二次函数的最值问题往往利用其单调性求解
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