Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x（1）求f（x）的极值；（2）若x＞-1，求证 1- 1 x+1 ≤ln(x+1)≤x

已知函数f（x）=ln（x+1）-x（1）求f（x）的极值；（2）若x＞-1，求证 1- 1 x+1 ≤ln(x+1)≤x ；（3）若函数 g(x)= f(x)+1+x x (x＞0) ，当 g(x)＞ k x+1 恒成立时，求整数k的最大值．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）． f′（x）= 1 x+1 -1 = -x x+1 ， 当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以当x=0时f（x）取得极大值f（0）=0，无极小值； （2）由（1）知，x=0为f（x）唯一的极大值点，也即最大值点， 所以当x＞-1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0， 所以ln（x+1）≤x； 令g（x）=ln（x+1）+ 1 x+1 -1，则g′（x）= 1 x+1 - 1 (x+1 ) 2 = x (x+1 ) 2 ， 当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以x=0是g（x）唯一的极小值点，也即最小值点， 所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+ 1 x+1 -1≥0， 所以ln（x+1）≥1- 1 x+1 ． 综上，x＞-1时， 1- 1 x+1 ≤ln(x+1)≤x ； （3）g（x）= ln(x+1)+1 x ，当x＞0时，g（x）＞ k x+1 恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]． 又k为正整数．则k的最大值不大于3． 下面证明当k=3时，f（x）＞ k x+1 （x＞0）恒成立，即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立． 令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x， 则g′（x）=ln（x+1）-1． 当x＞e-1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e-1时，g′（x）＜0． ∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0． ∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立． 因此正整数k的最大值为3．