Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．给出以下判断：①存在P，Q两

已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．给出以下判断：①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C1都成45°的角；③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；④若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积是定值．⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．其中真命题是______．（将正确命题的序号全填上）

Answer 1

解：当P与A₁点重合，Q与C₁点重合时，BP⊥DQ，故①正确；
根据题意，OP=OQ时，BP，DQ与直线B₁C₁所成角相等，但是角大于45°，故②错误；
设平面A₁B₁C₁D₁两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；
若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为

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，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．