Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且其右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合．①求

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M（1，32），且其右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合．①求椭圆C1的方程；②直线l经过点F与椭圆C1相交于A、B两点，与抛物线C2相交于C、D两点．求|AB||CD|的最大值．

Answer 1

解：如图，
①解法1：由抛物线方程为y²=4x，得其焦点F（1，0），
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1                            ①
又椭圆C₁经过点M(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

9

4b2

＝1     ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或b2＝?

3

4

（舍去），
从而a²=b²+1=4． 故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），
∴c=1．
∴椭圆C₁的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∵椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），
∴2a＝

(1+1)2+( 3 2 ?0)2

+

(1?1)2+( 3 2 ?0)2

=4．
∴a=2，则a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
②当直线l垂直于x轴时，
则A（1，

3

2

），B（1，?

3

2

），C（1，2），D（1，-2）．∴